Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)．
（1）求證：PD∥平面ACE；
（2）求證：平面ACE⊥平面PBC．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連BD交AC于O，連EO，利用三角形的中位線的性質(zhì)證得EO∥PD，再利用直線和平面平行的判定定理證得PD∥平面ACE．
（2）由條件利用直線和平面垂直的判定定理證得 BC⊥平面PAB，可得BC⊥AE．再利用等腰直角三角形的性質(zhì)證得AE⊥PB．再利用平面和平面垂直的判定定理證得平面ACE⊥平面PBC．

解答： 證明：（1）連BD交AC于O，連EO，∵ABCD為矩形，∴O為BD中點(diǎn)．
E為PB的中點(diǎn)，∴EO∥PD
又EO?平面ACE，PD?平面ACE，
∴PD∥平面ACE
（2）∵PA⊥平面ABCD，BC?底面ABCD，∴PA⊥BC．
∵底面ABCD為矩形，∴BC⊥AB．
∵PA∩AB=A，BC⊥平面PAB，AE?PAB，∴BC⊥AE．
∵PA=AB，E為PB中點(diǎn)，∴AE⊥PB．
∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC，
而AE?平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理、直線和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．