Question

12．在棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于2的概率為1-$\frac{π}{12}$．

Answer 1

分析 本題是幾何概型問題，欲求點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于2的概率，先由與點(diǎn)O距離等于2的點(diǎn)的軌跡是一個半球面，求出其體積，再根據(jù)幾何概型概率公式結(jié)合正方體的體積的方法易求解．再根據(jù)幾何概型概率公式結(jié)合正方體的體積的方法易求解．再根據(jù)幾何概型概率公式結(jié)合正方體的體積的方法易求解．

解答 解：本題是幾何概型問題
與點(diǎn)O距離等于2的點(diǎn)的軌跡是一個半球面，
其體積為：V₁=$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×π×{2}^{3}$=$\frac{16π}{3}$
“點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1的概率”事件對應(yīng)的區(qū)域體積為4³-$\frac{16π}{3}$，
則點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1的概率是$\frac{{4}^{3}-\frac{16π}{3}}{{4}^{3}}$=1-$\frac{π}{12}$，
故答案為：1-$\frac{π}{12}$

點(diǎn)評 本小題主要考查幾何概型、幾何概型的應(yīng)用、幾何體和體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．