Question

18．已知二次函數(shù)f（x）=x²+2mx+2m+1，
（1）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，有一個(gè)零點(diǎn)在在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求m
的范圍；
（2）若x∈[0，2]，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)定理得到關(guān)于m的不等式組，基礎(chǔ)即可；（2）先求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，通過(guò)討論m的范圍，求出f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）由條件，拋物線(xiàn)f（x）=x²+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間（-1，0）和（1，2）內(nèi)，
如圖（1）所示，

得$\left\{\begin{array}{l}f（0）=2m+1＜0\\ f（-1）=2＞0\\ f（1）=4m+2＜0\\ f（2）=6m+5＞0\end{array}\right.$…（3分）
⇒$\left\{\begin{array}{l}{m＜-\frac{1}{2}}\\{m∈R}\\{m＜-\frac{1}{2}}\\{m＞-\frac{5}{6}}\end{array}\right.$即-$\frac{5}{6}$＜m＜-$\frac{1}{2}$．故m的取值范圍是（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{1}{2}$）．…（6分）
（2）f（x）=x²+2mx+2m+1，x∈[0，2]的對(duì)稱(chēng)軸是x=-m，…（7分）
①當(dāng)-m≤0時(shí)，即m≥0時(shí)，f（x）_min=f（0）=2m+1
②當(dāng)0＜-m≤2時(shí)，即-2≤m＜0時(shí)，$f{（x）_{min}}=f（-m）=-{m^2}+2m+1$
③當(dāng)-m＞2時(shí)，即m＜-2時(shí)，f（x）_min=f（2）=6m+5…（11分）
綜上：$f{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}2m+1，（m≥0）\\-{m^2}+2m+1，（-2≤m＜0）\\ 6m+5，（m＜-2）\end{array}\right.$…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．