Question

1．如圖，圓O的直徑AB=8，圓周上過點C的切線與BA的延長線交于點E，過點B作AC的平行線交EC的延長線于點P．
（1）求證：BC²=AC•BP；
（2）若$EC=2\sqrt{5}$，求PB的長．

Answer 1

分析 （1）證明：△ACB∽△CBP，即可證明BC ²=AC•BP．
（2）證明△ACE∽△CBE，求出AC，由$\frac{AC}{BC}$=$\frac{EA}{EC}$，可求PB的長．

解答 （1）證明：∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°．
又AC∥BP，
∴∠ACB=∠CBP，∠ECA=∠P．
∵EC為圓O的切線，∴∠ECA=∠ABC，∴∠ABC=∠P，
∴△ACB∽△CBP．
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{BC}{BP}$，即BC ²=AC•BP；
（2）解：∵EC為圓O的切線，EC=2$\sqrt{5}$，AB=8，…（5分）
∴EC²=EA•EB=EA（EA+AB），∴EA=2．，…（6分）
∵∠ECA=∠ABC，∴△ACE∽△CBE，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{EA}{EC}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$
∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∴AC²+BC²=AB²．
∴$AC=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，$BC=\frac{{4\sqrt{30}}}{3}$，
所以$PB=\frac{{B{C^2}}}{AC}=\frac{{20\sqrt{6}}}{3}$（10分）

點評 本題考查三角形相似的判定性質(zhì)的運用，考查切割線定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．