Question

（本小題滿分14分）定義在上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界．

已知函數(shù)；

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍

 

Answer 1

（1）見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，在上遞減，所以，即在的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011406425252221337/SYS201501140643088041679658_DA/SYS201501140643088041679658_DA.007.png">,故不存在常數(shù)，使成立, 函數(shù)在上不是有界函數(shù)。

（2）由題意知，|f（x）|≤3在上恒成立，即在上恒成立,再利用單調(diào)性求出，，從而得到a的范圍．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，,∵在上遞減，所以，即在的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011406425252221337/SYS201501140643088041679658_DA/SYS201501140643088041679658_DA.007.png">,故不存在常數(shù)，使成立,所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)．

（2）由題意，在上恒成立。,, 在上恒成立,

設(shè)，，，由得 t≥1，設(shè)，

,,

所以在上遞減，在上遞增,

在上的最大值為,在上的最小值為,

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；函數(shù)的值域．