Question

19．已知點C為線段AB上一點，P為直線AB外一點，PC是∠APB角的平分線，I為PC上一點，滿足$\overrightarrow{BI}$=$\overrightarrow{BA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$+$\frac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}$）（λ＞0），$|\overrightarrow{PA}|-|\overrightarrow{PB}|=4$，$|\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}|=10$，則$\frac{{\overrightarrow{BI}•\overrightarrow{BA}}}{{|\overrightarrow{BA}|}}$的值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 利用角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、向量的運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$|\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}|=|\overrightarrow{AB}|=10$，PC是∠APB角的平分線，
又滿足$\overrightarrow{BI}$=$\overrightarrow{BA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$+$\frac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}$）（λ＞0），即$\overrightarrow{AI}$=λ$（\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}+\frac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}）$，
所以I在∠BAP的角平分線上，由此得I是△ABP的內(nèi)心，過I作IH⊥AB于H，I為圓心，IH為半徑，作△PAB的內(nèi)切圓，如圖，分別切PA，PB于E、F，
∵$|\overrightarrow{PA}|-|\overrightarrow{PB}|=4$，$|\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}|=10$，$|\overrightarrow{BH}|$=$|\overrightarrow{BF}|$=$\frac{1}{2}（|\overrightarrow{PB}|+|\overrightarrow{AB}|-|\overrightarrow{PA}|）$=$\frac{1}{2}[|\overrightarrow{AB}|-（|\overrightarrow{PA}|-|\overrightarrow{PB}|）]$=3，
在直角三角形BIH中，cos∠IBH=$\frac{|\overrightarrow{BH}|}{|\overrightarrow{BI}|}$，
所以$\frac{{\overrightarrow{BI}•\overrightarrow{BA}}}{{|\overrightarrow{BA}|}}$=$|\overrightarrow{BI}|$cos∠IBH=$|\overrightarrow{BH}|$=3．
故選：B．

點評 本題主要考查向量運算、數(shù)量積及其幾何意義、圓的切線長等，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于難題．