Question

6．已知△OBC為等邊三角形，O為坐標原點，B，C在拋物線y²=2px（p＞0）上，則△OBC的周長為12$\sqrt{3}$p．

Answer 1

分析 設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由于|OA|=|OB|，可得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．代入化簡可得：x₁=x₂．由拋物線對稱性，知點B、C關于x軸對稱．不妨設直線OB的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，與拋物線方程聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵|OA|=|OB|，∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．
又∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴x₂²-x₁²+2p（x₂-x₁）=0，
即（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．
又∵x₁、x₂與p同號，∴x₁+x₂+2p≠0．
∴x₂-x₁=0，即x₁=x₂．
由拋物線對稱性，知點B、C關于x軸對稱．
不妨設直線OB的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，解得B$（6p，2\sqrt{3}p）$．
∴△OBC的周長=$6×2\sqrt{3}p$=12$\sqrt{3}$p．
故答案為：12$\sqrt{3}$p．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題、等邊三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．