Question

已知曲線C：3x²+4y²=12，試確定m的取值范圍，使得對(duì)于直線y=4x+m，曲線C上總有不同兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：根據(jù)對(duì)稱性可知線段AB被直線y=4x+m垂直平分，從而可得直線AB的斜率k=-

1

4

，線AB與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)M在直線y=4x+m，可設(shè)直線AB的方程為y=-

1

4

x+n，聯(lián)立方程組

3x2+4y2=12 y=- 1 4 x+n

，整理可得13x²-8nx+16（n²-3）=0可求中點(diǎn)M，由△=64n²-4×13×16（n²-3）＞0可求n的范圍，由中點(diǎn)M在直線y=4x+m可得m，n 的關(guān)系，從而可求m的范圍．

解答： 解：設(shè)橢圓上關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱的點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則根據(jù)對(duì)稱性可知線段AB被直線y=4x+m垂直平分．
可得直線AB的斜率k=-

1

4

，
直線AB與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀）在直線y=4x+m，
故可設(shè)直線AB 的方程為y=-

1

4

x+n，
聯(lián)立方程組

3x2+4y2=12 y=- 1 4 x+n

，
整理可得13x²-8nx+16（n²-3）=0
∴x₁+x₂=

8n

13

，y₁+y₂=-

1

4

（x₁+x₂）+2n=

24n

13

，
△=64n²-4×13×16（n²-3）＞0，
∴-

13

2

＜n＜

13

2

，
∴x₀=

4n

13

，y₀=

12n

13

，代人y=4x+m，
m=-

4n

13

，
∴

2 13

13

＜m＜

2 13

13

，
∴m的范圍就是（-

2 13

13

，

2 13

13

）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了橢圓的基本性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系求解．