Question

15．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D點為棱AB的中點．
（1）求證：AC₁∥平面B₁CD；
（2）若AB=AC=2，BC=BB₁=2$\sqrt{2}$，求二面角B₁-CD-B的余弦值；
（3）若AC₁，BA₁，CB₁兩兩垂直，求證：此三棱柱為正三棱柱．

Answer 1

分析 （1）連接BC₁交B₁C于E，連接DE，則DE是△BC₁A的中位線，所以AC₁∥DE，即可證明AC₁∥平面B₁CD；
（2）過B作BF⊥CD于F，連接B₁F，則CD⊥BB₁，CD⊥平面BB₁F，可得∠B₁FB為二面角B₁-CD-B的平面角；
（3）作A₁M⊥B₁C₁，AN⊥BC，垂足分別為M，N，連接BM，C₁N，證明△ABC是等邊三角形，又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，即可證明結論．

解答 （1）證明：連接BC₁交B₁C于E，連接DE，則DE是△BC₁A的中位線，所以AC₁∥DE
又  AC₁?平面B₁CD，DE?平面B₁CD
∴AC₁∥平面B₁CD．…（4分）
（2）解：過B作BF⊥CD于F，連接B₁F，則CD⊥BB₁∴CD⊥平面BB₁F，
∴∠B₁FB為二面角B₁-CD-B的平面角，設∠B₁FB=θ
由已知可得AB⊥AC，∴△ACD∽△FBD
∴$\frac{BF}{AC}=\frac{BD}{CD}⇒\frac{BF}{2}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}⇒BF=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，${B_1}F=2•\sqrt{\frac{11}{5}}$，∴$cosθ=\frac{BF}{{{B_1}F}}=\frac{{\sqrt{11}}}{11}$，
即二面角B₁-CD-B的余弦值為$\frac{{\sqrt{11}}}{11}$．…（4分）
（3）證明：作A₁M⊥B₁C₁，AN⊥BC，垂足分別為M，N，連接BM，C₁N．
由已知可得  A₁M⊥平面B₁C₁CB，∴A₁M⊥B₁C
又  A₁B⊥B₁C，且A₁M，A₁B是平面A₁BM內的兩條相交直線，
∴B₁C⊥平面A₁BM，∴B₁C⊥BM
同理  B₁C⊥C₁N
又 直線B₁C，C₁N，BM都在平面B₁C₁CB內，∴C₁N∥BM，
又C₁M∥BN，∴四邊形C₁NBM是平行四邊形，∴C₁M=BN，C₁N=BM
又△A₁C₁M≌△ANC∴C₁M=CN，∴CN=BN，∴AC=BC
同理AC=AB，
∴△ABC是等邊三角形，又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱．…（4分）

點評 本題考查線面平行、垂直的證明，考查二面角B₁-CD-B的余弦值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．