Question

6．已知拋物線C以直線2x-3y+6=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為焦點(diǎn)，
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)（1）中焦點(diǎn)在x軸上的拋物線為C₁，直線l過點(diǎn)P（0，2）且與拋物線C₁相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由直線2x-3y+6=0，分別令x=0，y=0，可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（0，2），（-3，0）．進(jìn)而得出拋物線的方程．
（2）設(shè)（1）中焦點(diǎn)在x軸上的拋物線為C₁：y²=-12x．對斜率分類討論：
直線l的斜率不存在時：x=0與此拋物線相切．直線l的斜率存在時，設(shè)直線l過點(diǎn)P（0，2）且與拋物線C₁相切的方程為：y=kx+2，（k≠0）．與拋物線方程聯(lián)立化為：k²x²+（4k+12）x+4=0，利用△=0，即可得出．

解答 解：（1）由直線2x-3y+6=0，分別令x=0，y=0，可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（0，2），（-3，0）．
可得：拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²=8y，y²=-12x．
（2）設(shè)（1）中焦點(diǎn)在x軸上的拋物線為C₁：y²=-12x．
直線l的斜率不存在時：x=0與此拋物線相切，∴直線l的方程為：x=0．
直線l的斜率存在時，設(shè)直線l過點(diǎn)P（0，2）且與拋物線C₁相切的方程為：y=kx+2，（k≠0）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{y}^{2}=-12x}\end{array}\right.$，化為：k²x²+（4k+12）x+4=0，
∴△=（4k+12）²-16k²=0，解得k=-$\frac{3}{2}$，直線l的方程為：y=-$\frac{3}{2}$x+2，即3x+2y-4=0．
綜上可得直線l的方程為：3x+2y-4=0，或x=0．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相切的性質(zhì)、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．