Question

已知直線x+y-1=0與橢圓相交于A，B兩點，線段AB中點M在直線上．
（1）求橢圓的離心率；（2）若橢圓右焦點關(guān)于直線l的對稱點在單位圓x²+y²=1上，求橢圓的方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0．…（1分）
△=-（2a²）²-（a²+b²）（a²-a²b²）＞0，即a²+b²＞1．…（2分）
x₁+x₂=，y₁+y₂=-（ x₁+x₂）+2=，
∴點M的坐標為（，）．…（4分）
又點M在直線l上，
∴-=0，
∴a²=2b²=2（a²-c²），∴a²=2c²，
∴．…（6分）
（2）由（1）知b=c，設(shè)橢圓的右焦點F（b，0）關(guān)于直線l：的對稱點為（x₀，y₀），
由，解得…（10分）
∵x₀²+y₀²=1，
∴，
∴b²=1，顯然有a²+b²=3＞1．…（12分）
∴所求的橢圓的方程為．…（14分）
分析：（Ⅰ）設(shè)出A、B兩點的坐標，聯(lián)立直線與橢圓的方程得關(guān)于x的一元二次方程；由根與系數(shù)的關(guān)系，可得x₁+x₂，
y₁+y₂；從而得線段AB的中點坐標，代入直線l的方程，得出a、c的關(guān)系，從而求得橢圓的離心率．
（Ⅱ）設(shè)橢圓的右焦點坐標為F（b，0），F(xiàn)關(guān)于直線l的對稱點為（x₀，y₀），則由互為對稱點的連線被對稱軸垂直平分，可得方程組，解得x₀、y₀；代入圓的方程 x₀²+y₀²=1，得出b的值，從而得橢圓的方程．
點評：本題考查了直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，也考查了一定的邏輯思維能力和計算能力；解題時應(yīng)細心解答．