Question

已知角α的終邊上有一點(diǎn)P（t，t²+

1

4

）（t＞0），則tanα的最小值為

1

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可得點(diǎn)P（t，t²+

1

4

）是第一象限內(nèi)的點(diǎn)．再由正切函數(shù)的定義得tanα═t+

1

4t

，利用基本不等式可算出當(dāng)且僅當(dāng)t=

1

4t

=

1

2

時(shí)，tanα的最小值為1．

解答：解：∵t＞0，
∴t²+

1

4

≥2×t×

1

2

=t，可得t²+

1

4

是正數(shù)
因此，點(diǎn)P（t，t²+

1

4

）是第一象限內(nèi)的點(diǎn)
∵P（t，t²+

1

4

）是角α的終邊上一點(diǎn)
∴tanα=

t2+ 1 4

t

=t+

1

4t

≥2

t× 1 4t

=1
當(dāng)且僅當(dāng)t=

1

4t

=

1

2

時(shí)，tanα的最小值為1．
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題給出角α終邊上一點(diǎn)，它的坐標(biāo)為含有參數(shù)t的形式，求α正切值的最小值，著重考查了三角函數(shù)的定義和利用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．