Question

不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A．

  1

  6

  ≤a≤1
• B．

  2

  13

  ≤a≤1
• C．

  1

  6

  ≤a≤

  2

  13

• D．

  1

  6

  ≤a≤2

  2

Answer 1

分析：令f（t）=

t

t2+9

=

1

t+ 9 t

，g（t）=

t+2

t2

=

t+2

(t+2)2-4(t+2)+4

=

1

(t+2)+ 4 t+2 -4

，由不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立即f（t）_max≤a≤g（t）_min，利用函數(shù)的單調(diào)性可求

解答：解：令f（t）=

t

t2+9

=

1

t+ 9 t

，則可得f（t）在t∈（0，2]單調(diào)遞增，則有f（t）_max=f(2)=

2

13

令g（t）=

t+2

t2

=

t+2

(t+2)2-4(t+2)+4

=

1

(t+2)+ 4 t+2 -4

在（0，2}單調(diào)遞減，則有g(shù)（t）_min=g（2）=1
∵不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立
∴f（t）_max≤a≤g（t）_min
∴

2

13

≤a≤1
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)y=x+

k

x

(k＞0)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，及不等式恒成立與函數(shù)最值之間的轉(zhuǎn)化．