Question

11．2017年是某市大力推進(jìn)居民生活垃圾分類(lèi)的關(guān)鍵一年，有關(guān)部門(mén)為宣傳垃圾分類(lèi)知識(shí)，面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類(lèi)知識(shí)”的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì)，通過(guò)抽樣，得到參與問(wèn)卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示：

（1）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問(wèn)卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N（μ，210），μ近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），利用該正態(tài)分布，求P（50.5＜Z＜94）．
（2）在（1）的條件下，有關(guān)部門(mén)為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：
①得分不低于μ可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于μ則只有1次；
②每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)概率如下：

贈(zèng)送話費(fèi)（單位：元）	10	20
概率	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$

現(xiàn)有一位市民要參加此次問(wèn)卷調(diào)查，記X（單位：元）為該市民參加問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列．
附：$\sqrt{210}$≈14.5
若Z～N（μ，δ²），則P（μ-δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ-2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．

Answer 1

分析 （1）使用加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算；
（2）利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算各個(gè)概率，再列表即可．

解答 解：（1）E（Z）=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65，
∴μ=65，δ=$\sqrt{210}$≈14.5，
∴P（50.5＜Z＜79.5）=0.6826，P（36＜Z＜94）=0.9544，
∴P（79.5＜Z＜94）=$\frac{0.9544-0.6826}{2}$=0.1359，
∴P（50.5＜Z＜94）=P（50.5＜Z＜79.5）+P（79.5＜Z＜94）=0.6826+0.1359=0.8185．
（2）P（Z＜μ）=P（Z≥μ）=$\frac{1}{2}$，
X的可能取值為為{10，20，30，40}，
P（X=10）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，P（X=20）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{18}$，
P（X=30）=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，P（X=40）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{18}$．
∴X的分布列為：

X	10	20	30	40
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{18}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖，隨機(jī)變量的分布列與正態(tài)分布，屬于中檔題．