Question

在等邊△ABC中，|

AB

|=a，O為三角形的中心，過(guò)點(diǎn)O的直線交線段AB于M，交線段AC于N．有下列四個(gè)命題：
①

1

OM2

+

1

ON2

的最大值為

18

a2

，最小值為

15

a2

；
②

1

OM2

+

1

ON2

的最大值和最小值與a無(wú)關(guān)；
③設(shè)

AM

=m

AB

，

AN

=n

AC

，則

1

m

+

1

n

的值是與a無(wú)關(guān)的常數(shù)；
④設(shè)

AM

=m

AB

，

AN

=n

AC

，則

1

m

+

1

n

的值是與a有關(guān)的常數(shù)．
其中正確命題的序號(hào)為：

 

．（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）要判斷

1

OM2

+

1

ON2

的最大值、最小值為多少，和a有無(wú)關(guān)系，想辦法求出OM，ON即可．在△AOM中，因?yàn)镺為△ABC的中心，所以AO的長(zhǎng)度能確定，∠MAO=30°，所以設(shè)∠AMO=θ，則由正弦定理即可表示出OM=

3 a

6sinθ

，同樣的辦法表示ON=

3 a

6sin( 2π 3 -θ)

，這樣便把OM，ON用θ表示出來(lái)了，這樣便把

1

OM2

+

1

ON2

表示成了關(guān)于θ的函數(shù)，所以求這個(gè)函數(shù)的最大值與最小值即可．
（2）要求

1

m

+

1

n

，先想著讓條件中出現(xiàn)

1

m

，

1

n

，所以由條件可得：

AB

=

1

m

AM

，

AC

=

1

n

AN

．又因?yàn)镺是等邊三角形ABC的中心，所以

AO

=

1

3

AB

+

1

3

AC

=

1

3m

AM

+

1

3n

AN

，又因?yàn)镸，O，N三點(diǎn)共線所以

1

3m

+

1

3n

=1，這就可求得

1

m

+

1

n

=3，這樣便可判斷③正確，④錯(cuò)誤．

解答： 解：（1）設(shè)∠AMO=θ，則∠ANO=

2π

3

-θ（

π

6

≤θ≤

π

3

），AO=

3 a

3

；
∴在△AMO中，由正弦定理得：

3 a 3

sinθ

=

OM

1 2

；
∴OM=

3 a

6sinθ

．
在△ANO中，由正弦定理得：

3 a 3

sin( 2π 3 -θ)

=

OM

1 2

；
∴ON=

3 a

6sin( 2π 3 -θ)

；
∴

1

OM2

+

1

ON2

=

12[sin2θ+sin2( 2π 3 -θ)]

a2

=

12[ 1-cos2θ 2 + 1-cos( 4π 3 -2θ) 2 ]

a2

12[1+ 1 2 sin(2θ- π 6 )]

a2

；
∵

π

6

≤θ≤

π

3

，∴

π

6

≤2θ-

π

6

≤

π

2

；
∴

1

OM2

+

1

ON2

的最大值為

18

a2

，最小值為

15

a2

．
∴①正確，②錯(cuò)誤．
（2）∵O為等邊△ABC的中心；
∴

AO

=

1

3

AB

+

1

3

AC

；
又由已知得：

AB

=

1

m

AM

，

AC

=

1

n

AN

；
∴

AO

=

1

3m

AM

+

1

3n

AN

；
又∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線；
∴

1

3m

+

1

3n

=1；
∴

1

m

+

1

n

=3．
∴③正確，④錯(cuò)誤．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等邊三角形中心的性質(zhì)，正弦定理，正弦函數(shù)的最值，二倍角的余弦公式，兩角差的正余弦公式，三點(diǎn)共線的特點(diǎn)．