Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x+

5

4

）=-f（x-

5

4

），當(dāng)x∈[-1，4]時(shí)，f（x）=x²-2^x，則f（x）在區(qū)間[0，2012]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)y=f（x）滿足f（x+

5

4

）=-f（x-

5

4

），求出周期為5；再求出f（x）在一個(gè)周期[-1，4]內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，即可得出f（x）在區(qū)間[0，2012]上零點(diǎn)數(shù)．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x）滿足f（x+

5

4

）=-f（x-

5

4

），
∴f（x+

5

4

+

5

4

）=-f[（x+

5

4

）-

5

4

]=-f（x），
即f（x+

5

2

）=-f（x）；
∴f[（x+

5

2

）+

5

2

]=-f（x+

5

2

）=-[-f（x）]=f（x），
即f（x+5）=f（x）；
∴f（x）的周期為5；
又∵x∈[-1，4]時(shí)，f（x）=x²-2^x，
∴f′（x）=2x-ln2•2^x，
∵f′（-1）＜0，f′（0）＜0，f′（1）＞0，f’（4）＜0，
∴f（x）在區(qū)間[-1，4]內(nèi)先減后增，再減；
又∵f（-1）＞0，f（0）＜0，
∴f（x）在[-1，0]內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；
又∵f（2）=0，f（4）=0，
∴2，4也是函數(shù)的零點(diǎn)；
∴f（x）在[-1，4]內(nèi)有且只有三個(gè)零點(diǎn)；
又∵2012÷5=402…2，
∴f（x）在區(qū)間[0，2012]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為402×3+1=1207．
故答案為：1207．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合運(yùn)用問題，解題時(shí)應(yīng)先求出函數(shù)的周期，再求出一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，從而求出結(jié)果，是較難的題目．