Question

【題目】已知非空集合M滿(mǎn)足M{0，1，2，…，n}（n≥2，n∈N+）．若存在非負(fù)整數(shù)k（k≤n），使得當(dāng)a∈M時(shí)，均有2k﹣a∈M，則稱(chēng)集合M具有性質(zhì)P．設(shè)具有性質(zhì)P的集合M的個(gè)數(shù)為f（n）．
（1）求f（2）的值；
（2）求f（n）的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=2時(shí)，M={0}，{1}，{2}，{0，2}，{0，1，2}具有性質(zhì)P，

對(duì)應(yīng)的k分別為0，1，2，1，1，故f（2）=5．

（2）解：可知當(dāng)n=k時(shí)，具有性質(zhì)P的集合M的個(gè)數(shù)為f（t），

則當(dāng)n=k+1時(shí)，f（t+1）=f（t）+g（t+1），

其中g(shù)（t+1）表達(dá)t+1∈M也具有性質(zhì)P的集合M的個(gè)數(shù)，

下面計(jì)算g（t+1）關(guān)于t的表達(dá)式，

此時(shí)應(yīng)有2k≥t+1，即 ，故對(duì)n=t分奇偶討論，

①當(dāng)t為偶數(shù)時(shí)，t+1為奇數(shù)，故應(yīng)該有 ，

則對(duì)每一個(gè)k，t+1和2k﹣t﹣1必然屬于集合M，且t和2k﹣t，…，k和k共有t+1﹣k組數(shù)，每一組數(shù)中的兩個(gè)數(shù)必然同時(shí)屬于或不屬于集合M，

故對(duì)每一個(gè)k，對(duì)應(yīng)的具有性質(zhì)P的集合M的個(gè)數(shù)為 ，

所以 ，

②當(dāng)t為奇數(shù)時(shí)，t+1為偶數(shù)，故應(yīng)該有 ，

同理 ，

綜上，可得 又f（2）=5，

由累加法解得

即

【解析】（1）當(dāng)n=2時(shí)，M={0}，{1}，{2}，{0，2}，{0，1，2}具有性質(zhì)P，求出對(duì)應(yīng)的k，即可得出．（2）可知當(dāng)n=k時(shí)，具有性質(zhì)P的集合M的個(gè)數(shù)為f（t），當(dāng)n=k+1時(shí)，f（t+1）=f（t）+g（t+1），其中g(shù)（t+1）表達(dá)t+1∈M也具有性質(zhì)P的集合M的個(gè)數(shù)，
計(jì)算g（t+1）關(guān)于t的表達(dá)式，此時(shí)應(yīng)有2k≥t+1，即 ，故對(duì)n=t分奇偶討論，利用集合M具有性質(zhì)P即可得出．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解集合的表示方法-特定字母法的相關(guān)知識(shí)，掌握①自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合.②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合.③描述法：{|具有的性質(zhì)}，其中為集合的代表元素.④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合．