Question

【題目】某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個(gè)觀景噴泉，觀景噴泉的示意圖如圖所示，A，B兩點(diǎn)為噴泉，圓心O為AB的中點(diǎn)，其中OA=OB=a米，半徑OC=10米，市民可位于水池邊緣任意一點(diǎn)C處觀賞．

（1）若當(dāng)∠OBC= 時(shí)，sin∠BCO= ，求此時(shí)a的值；
（2）設(shè)y=CA2+CB2 ， 且CA2+CB2≤232．
（i）試將y表示為a的函數(shù)，并求出a的取值范圍；
（ii）若同時(shí)要求市民在水池邊緣任意一點(diǎn)C處觀賞噴泉時(shí)，觀賞角度∠ACB的最大值不小于 ，試求A，B兩處噴泉間距離的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△OBC中，由正弦定理得， ，

易得

（2）解：（i）易知AC2=100+a2﹣20acos∠AOC，BC2=100+a2﹣20acos∠BOC，

故CA2+CB2=200+2a2，

又因?yàn)镃A2+CB2≤232，即200+2a2≤232，解得0＜a≤4，

即y=200+2a2，a∈（0，4]；

（ii）當(dāng)觀賞角度∠ACB的最大時(shí)，cos∠ACB取得最小值，由余弦定理可得 ，

即

由題意可知 ，解此不等式得 ，

經(jīng)驗(yàn)證， ，即

【解析】（1）當(dāng)∠OBC= 時(shí)，sin∠BCO= ，由正弦定理求此時(shí)a的值；（2）（i）利用余弦定理，結(jié)合CA2+CB2≤232，即200+2a2≤232，可將y表示為a的函數(shù)，并求出a的取值范圍；（ii）當(dāng)觀賞角度∠ACB的最大時(shí)，cos∠ACB取得最小值，由余弦定理可得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．