Question

14．在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，F(xiàn)為PC的中點，PA=2AB=2．
（1）求證：平面PAC⊥平面AEF；
（2）求二面角C-AE-F的正弦值．

Answer 1

分析 （1）先證 CD⊥平面PAC，由三角形中位線的性質(zhì)得EF∥CD，得到EF⊥平面PAC，從而證得平面PAC⊥平面AEF．
（2）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可求二面角的正弦值．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，
∵E、F分別為PD、PC中點，
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面PAC，
∵EF?平面AEF，
∴平面PAC⊥平面AEF．
（2）∵PA⊥平面ABCD，∠ACD=90°，
∴建立以C為坐標(biāo)原點，CD，CA分別為x，y，過C作平行于PA的直線為z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵PA=2AB=2，∠ABC=90°，∠BAC=60°
∴C（0，0，0），D（2$\sqrt{3}$，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2），
E（$\sqrt{3}$，1，1），F(xiàn)（0，1，1），
則$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，-1，1），$\overrightarrow{AC}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{AF}$=（0，-1，1），
設(shè)平面CAE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y+z=0}\\{-2y=0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{z=\sqrt{3}x}\\{y=0}\end{array}\right.$，令x=1，則z=$\sqrt{3}$，
即$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面AEF的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y+z=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，則z=1，x=0，
即$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
則$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}$=$\frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
則sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
即二面角C-AE-F的正弦值是$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點評 本題主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進行求解，綜合性較強，運算量較大．