Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax²-1的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線8x-y+2=0平行，若數(shù)列$\left\{{\frac{1}{f（n）}}\right\}$的前n項和為S_n，則S₂₀₁₅的值為（　　）

• A． $\frac{4030}{4031}$
• B． $\frac{2014}{4029}$
• C． $\frac{2015}{4031}$
• D． $\frac{4029}{4031}$

Answer 1

分析 f′（x）=2ax，由于函數(shù)f（x）=ax²-1的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線8x-y+2=0平行，可得：f′（1）=2a=8，解得a=4．于是f（n）=4n²-1．利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：f′（x）=2ax，
∵函數(shù)f（x）=ax²-1的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線8x-y+2=0平行，
∴f′（1）=2a=8，解得a=4．
∴f（x）=4x²-1，f（n）=4n²-1．
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{f（n）}}\right\}$的前n項和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．
則S₂₀₁₅=$\frac{2015}{2×2015+1}$=$\frac{2015}{4031}$．
故選：C．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．