Question

11．若定義在（-1，1）上的奇函數(shù)f（x）滿足當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）試判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并給予證明；
（3）當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于方程f（x）=a在（0，1）上有實(shí)數(shù)解？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)分別求出f（x）在（-1，0）和x=0時(shí)的解析式，再寫(xiě)出分段函數(shù)；
（2）求出f（x）在（0，1）上的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得出結(jié)論；
（3）求出f（x）在（0，1）上的值域，得出a的范圍．

解答 解：（1）令-1＜x＜0，則0＜-x＜1，
∴f（-x）=$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=$\frac{{2}^{x}}{1+{4}^{x}}$，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-$\frac{{2}^{x}}{1+{4}^{x}}$，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{2}^{x}}{1+{4}^{x}}，-1＜x＜0}\\{0，x=0}\\{\frac{{2}^{x}}{1+{4}^{x}}，0＜x＜1}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{1+{4}^{x}}$=$\frac{1}{\frac{1}{{2}^{x}}+{2}^{x}}$，設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}+{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}+{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}+\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}}{（\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}+{2}^{{x}_{1}}）（\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}+{2}^{{x}_{2}}）}$=$\frac{（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）（1-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}）}{（\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}+{2}^{{x}_{1}}）（\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}+{2}^{{x}_{2}}）}$．
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2${\;}^{{x}_{2}}$＞2${\;}^{{x}_{1}}$＞1，∴2${\;}^{{x}_{2}}$-2${\;}^{{x}_{1}}$＞0，1-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$＞0，$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}+{2}^{{x}_{1}}$＞0，$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}+{2}^{{x}_{2}}$＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．
（3）∵f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，$\frac{2}{5}$＜f（x）＜$\frac{1}{2}$，
當(dāng)$\frac{2}{5}$＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，方程f（x）=a在（0，1）上有實(shí)數(shù)解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判斷，函數(shù)的值域，屬于中檔題．