Question

14．規(guī)定：f″（x）=（f′（x））′，例如，f（x）=x²，f′（x）=2x，f″（x）=2，設(shè)g（x）=lnx，函數(shù)h（x）=mg″（x）+g′（x）一$\frac{π}{3}$，下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． 當(dāng)m∈$（\frac{2}{3}，+∞）$時(shí)，函數(shù)h（x）無零點(diǎn)
• B． 當(dāng)m∈$（-∞，\frac{2}{3}）$時(shí)，函數(shù)h（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)
• C． 當(dāng)m∈$[0，\frac{2}{3}]$時(shí)，函數(shù)h（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)
• D． 當(dāng)m∈$（-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$時(shí)，函數(shù)h（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

分析 求出h（x）的解析式，令h（x）=0，解出m=-$\frac{π}{3}$x²+x，利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：g′（x）=$\frac{1}{x}$，g″（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，∴h（x）=-$\frac{m}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$-$\frac{π}{3}$．
令h（x）=0得m=-$\frac{π}{3}$x²+x，（x＞0）．
作出y=m和y=-$\frac{π}{3}$x²+x（x＞0）的函數(shù)圖象如圖，
∴當(dāng)m＞$\frac{3}{4π}$時(shí)，圖象無交點(diǎn)，即方程m=-$\frac{π}{3}$x²+x無解，即h（x）無零點(diǎn)，
當(dāng)m=$\frac{3}{4π}$或m≤0時(shí)，圖象有一個(gè)交點(diǎn)，方程m=-$\frac{π}{3}$x²+x有一解，即h（x）有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)0＜m＜$\frac{3}{4π}$時(shí)，圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，方程m=-$\frac{π}{3}$x²+x有兩解，即h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
∵$\frac{3}{4π}$＜$\frac{2}{3}$，∴m∈（$\frac{2}{3}$，+∞）時(shí)，h（x）無零點(diǎn)．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，作出函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．