Question

20．過拋物線y²=4ax（a＞0）的焦點F作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線的交點分別為B，C，其中點B落在第一象限內(nèi)，若x_C是x_B與x_F的等比中項，則雙曲線的離心率為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點，以及雙曲線的漸近線方程，聯(lián)立直線BC的方程和漸近線方程，可得交點B，C的橫坐標，由等比數(shù)列的中項性質(zhì)和離心率公式，化簡即可得到所求值．

解答 解：拋物線y²=4ax（a＞0）的焦點F為（a，0），
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-a）}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$解得x_B=$\frac{{a}^{2}}{a+b}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-a）}\\{y=-\frac{a}x}\end{array}\right.$解得x_C=$\frac{{a}^{2}}{a-b}$，
由x_C是x_B與x_F的等比中項，可得x_Bx_F=x_C²，
即為$\frac{{a}^{3}}{a+b}$=$\frac{{a}^{4}}{（a-b）^{2}}$，即a（a+b）=（a-b）²，
化簡可得b=3a，
由c²=a²+b²，可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{10}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$．
故答案為：$\sqrt{10}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，考查拋物線的焦點和雙曲線的漸近線方程的運用，考查直線方程聯(lián)立求交點和等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，屬于中檔題．