Question

16．已知點A（0，3），B（1，0），C（3，m），P為線段AB上任意一點，過點P作直線l，l與以C為圓心、以$\frac{\sqrt{10}}{3}$為半徑的圓交于兩點M、N，若M恰為線段PN中點，則實數(shù)m的取值范圍是$[2，\sqrt{6}]$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖象，考慮兩種極端情況：當(dāng)點P在A點和B點時，分別由條件、圖象、兩點之間的距離公式列出不等式，利用求出m的取值范圍．

解答 解：由題意畫出圖象：
考慮兩種極端情況：
當(dāng)點P在A點時，設(shè)直線AC與圓相交于M、N兩點，
只要|MN|＞|AM|時，適當(dāng)繞點P轉(zhuǎn)動總有一個位置滿足
|MN|=|AM|，
故|MN|＞|AM|，即3r≥|AC|，
可得$\sqrt{10}≥\sqrt{{3}^{2}+（3-m）^{2}}$，化簡得2≤m≤4；
當(dāng)點P在B點時，同理可得3r≥|BC|，
可得$\sqrt{10}≥\sqrt{{2}^{2}+{m}^{2}}$，化簡得$-\sqrt{6}$≤m≤$\sqrt{6}$，
綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是$[2，\sqrt{6}]$，
故答案為：$[2，\sqrt{6}]$．

點評 本題考查直線與圓的文職關(guān)系，兩點之間的距離公式，考查了分析、解決問題的能力，以及數(shù)形結(jié)合思想．