Question

11．已知點(diǎn)M是離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線MA，MB交橢圓C與A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k₁，k₂，
（1）若點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求k₁•k₂的值；
（2）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1），且k₁+k₂=3，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意的離心率得到a，b的關(guān)系，把橢圓方程化為x²+3y²=3b²．設(shè)出M，A的坐標(biāo)，代入橢圓方程得到M，A兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，把直線MA，MB的斜率用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示，作積后得答案；
（2）由已知求得橢圓方程，設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由k₁+k₂=3得到直線AB的斜率和截距的關(guān)系，再由直線系方程得到直線AB過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 （1）解：由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}$，∴a²=3b²，
設(shè)橢圓方程為x²+3y²=3b²．
再設(shè)M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），
則有${{x}_{0}}^{2}+3{{y}_{0}}^{2}=3^{2}$，${{x}_{1}}^{2}+3{{y}_{1}}^{2}=3^{2}$，
${k}_{1}{k}_{2}=\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}=\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{3（{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}）}=-\frac{1}{3}$；
（2）證明：M（0，1），則b²=1，∴橢圓方程為x²+3y²=3．
設(shè)AB方程：y=kx+m，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．
△=36k²m²-（4+12k²）（3m²-3）=12（3k²-m²+1）＞0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}=\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+（m+1）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}=3$．
則$\frac{2k•\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}+（m+1）•\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}}{\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}}=3$，整理得3m²-3=2km-2k，即3m+3=2k，
∴y=kx+$\frac{2}{3}k-1$，則直線過(guò)定點(diǎn)（-$\frac{2}{3}$，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．