Question

已知雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線(xiàn)與圓E：（x-5）²+y²=9相切，則雙曲線(xiàn)C的離心率等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線(xiàn)與圓E：（x-5）²+y²=9相切?圓心（5，0）到漸近線(xiàn)的距離等于半徑r=3，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和離心率的計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：取雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)bx-ay=0．
圓E：（x-5）²+y²=9的圓心（5，0），半徑r=3．
∵漸近線(xiàn)與圓E：（x-5）²+y²=9相切，∴

|5b|

b2+a2

=3
化為

9

16

a²=b²．
∴該雙曲線(xiàn)的離心率e=

c

a

=

1+ b2 a2

=

5

4

．
故答案為：

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程、直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、離心率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．