Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+lnx．
（I）函數(shù)f（x）在x=1與x=

1

2

處的切線平行，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若a≥0，劃分函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)由f′(1)=f′(

1

2

)求得a的值；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

1

x

(2ax2-2x+1)，分a=0，0＜a＜

1

2

，a≥

1

2

三種情況由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)期間；
（Ⅲ）把函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′(x)=

1

x

(2ax2-2x+1)≥0在[2，4]上恒成立，即2a-

2

x

+

1

x2

≥0在[2，4]上恒成立，令t=

1

x

換元后得到t²-2t+2a≥0在區(qū)間[

1

4

，

1

2

]上恒成立．然后由函數(shù)的單調(diào)性求得最小值得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=ax²-2x+lnx，得f′(x)=2ax-2+

1

x

，
由題意，f′(1)=f′(

1

2

)，即2a-1=a，解得a=1；
（Ⅱ）f′(x)=

1

x

(2ax2-2x+1)，
①當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

1

x

(-2x+1)，在區(qū)間（0，

1

2

]上f′（x）≥0，f（x）為增函數(shù)；
在區(qū)間[

1

2

，+∞）上f′（x）≤0，f（x）為減函數(shù)；
②當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，2a²-2x+1=0的根為x1=

1- 1-2a

2a

，x2=

1+ 1-2a

2a

．
在區(qū)間（0，

1- 1-2a

2a

]上f′（x）≥0，f（x）為增函數(shù)；在區(qū)間[

1- 1-2a

2a

，

1+ 1-2a

2a

]上f′（x）≤0，
f（x）是減函數(shù)；在區(qū)間[

1+ 1-2a

2a

，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）為增函數(shù)；
③當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，△=4-8a≤0，f′（x）≥0，在區(qū)間（0，+∞）上f′（x）≥0恒成立，函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（Ⅲ）函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上為增函數(shù)，則f′(x)=

1

x

(2ax2-2x+1)≥0在[2，4]上恒成立，等價(jià)于
2a-

2

x

+

1

x2

≥0在[2，4]上恒成立，
令t=

1

x

，則等價(jià)于t²-2t+2a≥0在區(qū)間[

1

4

，

1

2

]上恒成立．
∵g（x）=t²-2t+2a在區(qū)間[

1

4

，

1

2

]上為減函數(shù)，
∴g(t)min=g(

1

2

)=-

3

4

+2a≥0，即a≥

3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．