Question

4．如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面是邊長為1的正方形，高AA₁=$\sqrt{2}$，點A是平面α內(nèi)的一個定點，AA₁與α所成角為$\frac{π}{3}$，點C₁在平面α內(nèi)的射影為P，當四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁按要求運動時（允許四棱柱上的點在平面α的同側(cè)或異側(cè)），點P所經(jīng)過的區(qū)域的面積=$2\sqrt{3}π$．

Answer 1

分析 由題意，點A是平面α內(nèi)的一個定點，AA₁與α所成角為$\frac{π}{3}$，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁按要求運動，為A定點的旋轉(zhuǎn)運動和定直線AA₁旋轉(zhuǎn)運動．再作點C₁在平面α內(nèi)的射影為P的軌跡掃過的圖形，即可得到點P所經(jīng)過的區(qū)域的面積．

解答
解：當長方體繞A₁A轉(zhuǎn)的時候，C₁C形成一個圓柱，過C₁往平面α作垂線垂足P，就形成一個橢圓，其短軸為P₁P₂=$\sqrt{6}$，長軸為$2\sqrt{2}$ 的y型的橢圓，其中心A點在平面α上的射影M．
當AA₁繞著A點轉(zhuǎn)時，則橢圓就以A為圓心，$\frac{\sqrt{2}}{2}$為半徑的圓上運動，其掃過的區(qū)域為一個圓環(huán)，外徑為$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}$，內(nèi)徑為$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
所以面積為：[（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}$）²-$（\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}）^{2}$]•π=$2\sqrt{3}π$
故填：$2\sqrt{3}π$．

點評 本題考查了立體幾何中以定點旋轉(zhuǎn)和定直線旋轉(zhuǎn)運動形成的圖形的面積問題．注重空間思維的想象力的培養(yǎng)和作圖能力，數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想的靈活性的運用．屬于難題．