Question

10．某農(nóng)場有一塊以O(shè)為圓心，R（R為常數(shù)，單位為米）為半徑的半圓形（如圖）種植地，農(nóng)場主計(jì)劃對(duì)其合理利用，其中扇形AOB區(qū)域用于種植作物甲出售，△BOC區(qū)域用于種植作物乙出售，其余區(qū)域用于種植作物丙不出售，已知種植作物甲的利潤是40元/平方米；種植作物乙的利潤是80元/平方米；種植作物丙的成本是20元/平方米．
（1）設(shè)∠AOB=θ（單位：弧度，0＜θ＜π），用θ表示弓形BCD的面積f（θ）；
（2）求總利潤最大時(shí)cosθ的大小，并計(jì)算此時(shí)作物乙的種植面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠COD=θ（單位：弧度），利用扇形面積減去三角形的面積，即可求出弓形CMDC的面積S_弓=f（θ）；
（2）設(shè)總利潤為W（θ）元，甲的利潤是40元/平方米；種植作物乙的利潤是80元/平方米；種植作物丙的成本是20元/平方米．利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最大值，得到結(jié)果．

解答 解：（1）由扇形的面積公式$s=\frac{1}{2}•θ{•r}^{2}$可得：${S}_{A0B}=\frac{1}{2}•θ•{R}^{2}$；
由三角形$s=\frac{1}{2}absinx$．可得：${S}_{OBC}=\frac{1}{2}{R}^{2}sin（π-θ）$
∴${S}_{BCD}=\frac{π}{2}{R}^{2}-\frac{1}{2}θ{R}^{2}-\frac{1}{2}{R}^{2}sin（π-θ）$，
即：$f（θ）=\frac{1}{2}{R}^{2}（π-θ-sinθ）$
（2）設(shè)總利潤為W（θ），則W（θ）=40•S_AOB+80•S_OBC-20•S_BCD
∴W（θ）=30R²θ+50R²Sinθ-10R²π
W（θ）'=30R²+50R²cosθ
令W（θ）'=0，解得$cosθ=-\frac{3}{5}$．即$cosθ＞-\frac{3}{5}$時(shí)，W（θ）'＜0，
當(dāng)$cosθ＜-\frac{3}{5}$時(shí)，W（θ）'＞0．
∴W（θ）在$cosθ=-\frac{3}{5}$．有最大值．
∴總利潤為w最大，此時(shí)得$cosθ=-\frac{3}{5}$．
作物乙的種植面積${S}_{OBC}=\frac{1}{2}{R}^{2}sin（π-θ）$=$\frac{1}{2}$R²•sinθ
∵0＜θ＜π，$cosθ=-\frac{3}{5}$．
∴sinθ=$\frac{4}{5}$．
故得乙的種植面積為$\frac{1}{2}$R²•sinθ=$\frac{2}{5}{R}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想；屬于中檔題．