Question

5．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+3x．
（1）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求所有的實數(shù)a，使得對任意x∈[1，2]，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）=3x+1圖象的下方．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=x|x-a|+3x=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（3-a）x，x≥a\\-{x}^{2}+（3+a）x，x＜a\end{array}\right.$，由f（x）在R上是增函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}a≥\frac{a-3}{2}\\ a≤\frac{a+3}{2}\end{array}\right.$，解得實數(shù)a的取值范圍；
（2）由題意得對任意的實數(shù)x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，進而可得滿足條件的實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x|x-a|+3x=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（3-a）x，x≥a\\-{x}^{2}+（3+a）x，x＜a\end{array}\right.$  …（2分）
由f（x）在R上是增函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}a≥\frac{a-3}{2}\\ a≤\frac{a+3}{2}\end{array}\right.$…（4分）
即-3≤a≤3，
所以a的取值范圍為-3≤a≤3．…（6分）
（2）由題意得對任意的實數(shù)x∈[1，2]，
f（x）＜g（x）恒成立，即x|x-a|＜1，
即|x-a|＜$\frac{1}{x}$，
即-$\frac{1}{x}$＜x-a＜$\frac{1}{x}$，
即x-$\frac{1}{x}$＜a＜x+$\frac{1}{x}$，
故只要x-$\frac{1}{x}$＜a且a＜x+$\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上恒成立即可，
在x∈[1，2]時，只要x-$\frac{1}{x}$的最大值小于a且x+$\frac{1}{x}$的最小值大于a即可，…（8分）
而當x∈[1，2]時，y=x-$\frac{1}{x}$單調(diào)遞增，所以x-$\frac{1}{x}$的最大值為$\frac{3}{2}$；…（11分）
當x∈[1，2]時，y=x+$\frac{1}{x}$單調(diào)遞增，所以x+$\frac{1}{x}$的最小值為2…（14分）
所以$\frac{3}{2}$＜a＜2．…（16分）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，難度中檔．