2.對于函數(shù)f(x)與g(x),若區(qū)間[a,b]上|f(x)-g(x)|的最大值稱為f(x)與g(x)的“絕對差”,則f(x)=$\frac{1}{x+1}$,g(x)=$\frac{2}{9}$x2-x在[1,4]上的“絕對差”為( 。
A.$\frac{271}{72}$B.$\frac{23}{18}$C.$\frac{29}{45}$D.$\frac{13}{9}$

分析 由已知中關(guān)于f(x)與g(x)在閉區(qū)間[a,b]上的“絕對差”的定義,我們構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)=$\frac{1}{x+1}$-($\frac{2}{9}$x2-x),根據(jù)函數(shù)的值域,及分析出F(x)>0恒成立,再根據(jù)x∈[1,4]時F(x)的單調(diào)性,可得當x=2時F(x)=f(x)-g(x)取最大值,代入計算即可得到答案.

解答 解:令F(x)=f(x)-g(x)=$\frac{1}{x+1}$-($\frac{2}{9}$x2-x),x∈[1,4],
F′(x)=-$\frac{1}{(x+1)^{2}}$-$\frac{4}{9}$x+1,
令F′(x)>0,則1<x<2;令F′(x)<0,則2<x<4.
即F(x)在(1,2)遞增;在(2,4)遞減.
則F(1)=$\frac{1}{2}$-($\frac{2}{9}$-1)=$\frac{23}{18}$,F(xiàn)(4)=$\frac{1}{5}$-($\frac{32}{9}$-4)=$\frac{29}{45}$,
即有x=2處取得最大值,且為$\frac{1}{3}$-($\frac{8}{9}$-2)=$\frac{13}{9}$.
故函數(shù)的絕對差為$\frac{13}{9}$.
故選:D.

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法,意在考查考生對新概念的理解,導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用,考查綜合分析、解決問題的能力.

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