17.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:y2=nx(n>0)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(2,t)到焦點(diǎn)的距離為$\frac{5}{2}$,C在點(diǎn)P處的切線交x軸于點(diǎn)Q,直線l1經(jīng)過點(diǎn)Q且垂直于x軸.
(1)求線段OQ的長;
(2)設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)P和Q的動(dòng)直線l2:x=my+b交C交點(diǎn)A和B,交l1于點(diǎn)E,若直線PA,PB的斜率依次成等差數(shù)列,試問:l2是否過定點(diǎn)?請說明理由.

分析 (1)先求出p的值,然后求出在第一象限的函數(shù),結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出N的坐標(biāo)即可求線段OQ的長;
(2)聯(lián)立直線和拋物線方程進(jìn)行消元,轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系結(jié)合直線斜率的關(guān)系建立方程進(jìn)行求解即可.

解答 解:(Ⅰ)由拋物線y2=nx(n>0)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(2,t)到焦點(diǎn)的距離為$\frac{5}{2}$,
得2+$\frac{n}{4}$=$\frac{5}{2}$,∴n=2,
拋物線C的方程為y2=2x,P(2,2).               …(2分)
C在第一象限的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=$\sqrt{2}x$,則y′=$\frac{1}{\sqrt{2x}}$,
故C在點(diǎn)P處的切線斜率為$\frac{1}{2}$,切線的方程為y-2=$\frac{1}{2}$(x-2),
令y=0得x=-2,所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2,0).
故線段OQ的長為2.                 …(5分)
(Ⅱ)l2恒過定點(diǎn)(2,0),理由如下:
由題意可知l1的方程為x=-2,因?yàn)閘2與l1相交,故m≠0.
由l2:x=my+b,令x=-2,得y=-$\frac{b+2}{m}$,故E(-2,-$\frac{b+2}{m}$)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+b}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$消去x得:y2-2my-2b=0
則y1+y2=2m,y1y2=-2b                                …(7分)
直線PA的斜率為$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-2}=\frac{2}{{y}_{1}+2}$,同理直線PB的斜率為$\frac{2}{{y}_{2}+2}$,
直線PE的斜率為$\frac{2+\frac{b+2}{m}}{4}$.
因?yàn)橹本PA,PE,PB的斜率依次成等差數(shù)列,
所以$\frac{2}{{y}_{1}+2}$+$\frac{2}{{y}_{2}+2}$=2×$\frac{2+\frac{b+2}{m}}{4}$  …(10分)
整理得:$\frac{b+2}{2m-b+2}$=$\frac{b+2}{2m}$,
因?yàn)閘2不經(jīng)過點(diǎn)Q,所以b≠-2,
所以2m-b+2=2m,即b=2.
故l2的方程為x=my+2,即l2恒過定點(diǎn)(2,0).…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,利用直線和拋物線方程,轉(zhuǎn)化為一元二次方程,結(jié)合韋達(dá)定理,利用設(shè)而不求的思想是解決本題的關(guān)鍵.

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