Question

已知函數
（Ⅰ）求在點處的切線方程；
（Ⅱ）若存在，滿足成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）當時，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

(1) (2) <
(3)

試題分析：解：(Ⅰ)             
在處的切線方程為：
即                    3分
(Ⅱ)     即  令   
時， ，時，
在上減，在上增
又時，的最大值在區(qū)間端點處取到.
 

  在上最大值為，
故的取值范圍是：<.                    8分
（Ⅲ）由已知得時恒成立，設 
由(Ⅱ)知，當且僅當時等號成立，
故從而當
即時，，為增函數，又
于是當時， 即 時符合題意。11分
由可得，從而當時，

故當時，，為減函數，又，
于是當時， 即
故，不符合題意.
綜上可得的取值范圍為                          14分
點評:解決的關鍵是利用導數的幾何意義求解切線方程以及根據導數的符號判定函數單調性，得到函數的最值，屬于基礎題。