Question

【題目】已知橢圓C方程：+=1（a＞b＞0），M（x0 ， y0）是橢圓C上任意一點，F(xiàn)（c，0）是橢圓的右焦點．
（1）若橢圓的離心率為e，證明|MF|=a﹣ex0；
（2）已知不過焦點F的直線l與圓x2+y2=b2相切于點Q，并與橢圓C交于A，B兩點，且A，B兩點都在y軸的右側，若a=2，求△ABF的周長．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵M（x0 ， y0）是橢圓C上任意一點，橢圓的右準線方程為x=，
∴=e
∴|MF|=a﹣ex0；
（2）解：設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．（x1＞0，x2＞0），
連接OA，OQ，在△OAQ中，|AQ|2=x12+y12﹣b2 ，
∵y12=b2﹣x12 ，
∴|AQ|2=1﹣x12=e2x12；
∴|AQ|=ex1 ，
同理：|BQ|=ex2 ，
∴|AB|=|AQ|+|BQ|=e（x1+x2）
∴|AB|+|AF|+|BF|=e（x1+x2）+a﹣ex1+a﹣ex2=2a
∴a=2時，△ABF的周長為4．
【解析】（1）利用橢圓的第二定義，即可得出結論；
（2）證明|AQ|=ex1 ， |BQ|=ex2 ， 即可求出△ABF的周長．