【題目】已知橢圓C方程:+=1(a>b>0),M(x0 , y0)是橢圓C上任意一點,F(xiàn)(c,0)是橢圓的右焦點.
(1)若橢圓的離心率為e,證明|MF|=a﹣ex0;
(2)已知不過焦點F的直線l與圓x2+y2=b2相切于點Q,并與橢圓C交于A,B兩點,且A,B兩點都在y軸的右側,若a=2,求△ABF的周長.

【答案】證明:(1)∵M(x0 , y0)是橢圓C上任意一點,橢圓的右準線方程為x=
=e
∴|MF|=a﹣ex0;
(2)解:設A(x1 , y1),B(x2 , y2).(x1>0,x2>0),
連接OA,OQ,在△OAQ中,|AQ|2=x12+y12﹣b2 ,
∵y12=b2x12
∴|AQ|2=1﹣x12=e2x12
∴|AQ|=ex1 ,
同理:|BQ|=ex2
∴|AB|=|AQ|+|BQ|=e(x1+x2
∴|AB|+|AF|+|BF|=e(x1+x2)+a﹣ex1+a﹣ex2=2a
∴a=2時,△ABF的周長為4.
【解析】(1)利用橢圓的第二定義,即可得出結論;
(2)證明|AQ|=ex1 , |BQ|=ex2 , 即可求出△ABF的周長.

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