Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{x-2}+\sqrt{11-x}$的最大值為M．
（Ⅰ）求實數(shù)M的值；
（Ⅱ）求關(guān)于x的不等式|x-$\sqrt{2}$|+|x+2$\sqrt{2}$|≤M的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用基本不等式以及重要不等式，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的最值，即可求實數(shù)M的值；
（Ⅱ）通過絕對值不等式的幾何意義，之間求關(guān)于x的不等式|x-$\sqrt{2}$|+|x+2$\sqrt{2}$|≤M的解集．

解答 （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
解：（I）因為a，b＞0時，$（{\frac{a+b}{2}）}^{2}≤\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$，
所以$f（x）=\sqrt{x-2}+\sqrt{11-x}≤2\sqrt{\frac{（x-2）+（11-x）}{2}}=3\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{13}{2}$時等號成立． 故函數(shù)f（x）的最大值$M=3\sqrt{2}$---------------（5分）
（Ⅱ）由絕對值三角不等式可得$|{x-\sqrt{2}}|+|{x+2\sqrt{2}}|≥|{（x-\sqrt{2}）-（x+2\sqrt{2}）}|=3\sqrt{2}$．
所以不等式$|x-\sqrt{2}|+|x+2\sqrt{2}|≤3\sqrt{2}$的解x就是
方程$|x-\sqrt{2}|+|x+2\sqrt{2}|=3\sqrt{2}$的解．
由絕對值的幾何意義得，當(dāng)且僅當(dāng)$-2\sqrt{2}≤x≤\sqrt{2}$時，$|x-\sqrt{2}|+|x+2\sqrt{2}|=3\sqrt{2}$．
所以不等式$|x-\sqrt{2}|+|x+2\sqrt{2}|≤M$的解集為：$\{x|-2\sqrt{2}≤x≤\sqrt{2}\}$--------------（10分）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，絕對值不等式的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．