Question

巳知f（x）=（sinx+cosx）sinx，若|f（x₁）-

1

2

||≤|f（x）-

1

2

|≤||f（x₂）-

1

2

|，對(duì)?x∈R成 立，則|x₁-x₂|最小值為（　�。�

• A、

  π

  8

• B、

  π

  4

• C、

  π

  2

• D、π

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由題意可得|f（x₁）|為函數(shù)的最小值，|f（x₂）|為函數(shù)的最大值，故|x₂-x₁|的最小值為半個(gè)周期，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性可得結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=（sinx+cosx）sinx=sin²x+sinxcosx=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

∴若|f（x₁）-

1

2

||≤|f（x）-

1

2

|≤||f（x₂）-

1

2

|，對(duì)?x∈R成 立，
則有|sin（2x₁-

π

4

）|≤|sin（2x-

π

4

）|≤|sin（2x₂-

π

4

）|，對(duì)?x∈R成 立，

可得|f（x₁）|為函數(shù)的最小值，|f（x₂）|為函數(shù)的最大值，
故|x₂-x₁|的最小值為半個(gè)周期，即

1

2

×

π

2

=

π

4

，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的周期性和值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．