Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c=2（b-acosC）
（1）求∠A的大小
（2）若△ABC的面積為

3

，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）根據(jù)正弦定理，把2acosC+c=2b化為2sinAcosC+sinC=2sinB，再由B=π-（A+C），化簡求出A的值即可；
（2）通過三角形的面積得到bc，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出a的范圍．

解答： 解：（1）∵c=2（b-acosC）
∴2acosC+c=2b，
由正弦定理得，2sinAcosC+sinC=2sinB；
∴2sinAcosC+sinC=2sin（A+C）=2（sinAcosC+cosA sinC），
即sinC（2cosA-1）=0；
∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

．
（2）△ABC的面積為

3

，
∴

3

=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，∴bc=4
a²=c²+b²-2bccosA=c²+b²-4≥2bc-4=4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取等號．
a的取值范圍[2，+∞）．

點評：本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)靈活應(yīng)用正弦定理和余弦定理的公式求角和邊長，考查基本不等式的應(yīng)用，是中檔題目．