Question

（2003•東城區(qū)二模）如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為C₁D₁與AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線BD₁，與CF所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A₁-FC-D的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，延長(zhǎng)DC至G，使CG=

1

2

DC，連結(jié)BG，D₁G．∠D₁BG就是異面直線BD₁與CF所成的角．
在△D₁BG中求解．
（Ⅱ）過(guò)A₁作A₁H⊥CF，交CF的延長(zhǎng)線于H．連結(jié)AH．∠A₁HA為二面角A₁---FC---D的平面角．在Rt△A₁AH中求解．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，延長(zhǎng)DC至G，使CG=

1

2

DC，連結(jié)BG，D₁G．
∵FB∥GC，F(xiàn)B=GC
∴四邊形FBGC是平行四邊形．
∴BG∥FC．
∴∠D₁BG就是異面直線BD₁與CF所成的角．（3分）
在△D₁BG中，D1B=

3

，BG=

5

2

，D1G=

12+( 3 2 )2= 13 2 ，

∴cos∠D1BG=

D1B2+BG2-D1G2

2D1B•BG

=

3+ 5 4 - 13 4

2× 15 2

=

15

15

．
即異面直線BD₁與CF所成角的余弦值是

15

15

．（6分）
（Ⅱ）過(guò)A₁作A₁H⊥CF，交CF的延長(zhǎng)線于H．連結(jié)AH．∵AA₁⊥平面ABCD，
∴AH是A₁H在平面ABCD內(nèi)的射影
∴AH⊥CH．（8分）
則∠A₁HA為二面角A₁---FC---D的平面角．（9分）

底面ABCD如圖所示．
由于∠AHF=∠B=90°，∠AFH=CFB，
則△AHF～△CBF．
∴

AH

CB

=

AF

CF

．
∴CF=

5

2

，AF=

1

2

，
∴AH=

CB•AF

CF

=

1• 1 2

5 2

=

1

5

．(11分)
在Rt△A₁AH中，A1A=1，AH=

1

5

，
∴tan∠A1HA=

A1A

AH

=

5

．
則二面角A₁-FC-D的大小為arctg

5

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．