Question

若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁=1，且對(duì)任意n∈N*，a_n與a_n+1恰為方程x²-b_nx+cⁿ=0的兩根，其中0＜|c|＜1，當(dāng)（b₁+b₂+…+b_n）≤3，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：由題意再根據(jù)韋達(dá)定理列出a_n，a_n+1和b_n三者的關(guān)系式，再進(jìn)行變形求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的特點(diǎn)，對(duì)數(shù)列分組求和，再由0＜|c|＜1求極限不等式，最后求出c的值．
解答：解：∵對(duì)任意n∈N*，a_n與a_n+1恰為方程x²-b_nx+cⁿ=0的兩根，
∴a_n+a_n+1=b_n，a_n•a_n+1=cⁿ
∴===c．
∵a₁=1，∴a₁•a₂=a₂=c．
∴a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為c的等比數(shù)列，
a₂，a₄，a₆，…，a_2n，構(gòu)成首項(xiàng)為c，公比為c的等比數(shù)列．
又∵任意n∈N*，a_n+a_n+1=b_n恒成立．
∴==c．又b₁=a₁+a₂=1+c，b₂=a₂+a₃=2c，
∴b₁，b₃，b₅，…，b_2n-1，構(gòu)成首項(xiàng)為1+c，公比為c的等比數(shù)列，
b₂，b₄，b₆，…，b_2n，構(gòu)成首項(xiàng)為2c，公比為c的等比數(shù)列，
∵0＜|c|＜1，cⁿ=0
∴（b₁+b₂+b₃+…+b_n）=（b₁+b₃+b₅+…）+（b₂+b₄+…）
=+≤3．
解得c≤或c＞1．
∵0＜|c|＜1，∴0＜c≤或-1＜c＜0．
故c的取值范圍是（-1，0）∪（0，]．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合性強(qiáng)，涉及的知識(shí)面廣．本題的關(guān)鍵在于根據(jù)韋達(dá)定理求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的特點(diǎn)，進(jìn)行數(shù)列分組求和，將題設(shè)中的極限不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的不等式，顯然“橋梁”應(yīng)是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．