Question

已知M={x|x＞3或x＜1}，當(dāng)x∈M時(shí)，求f（x）=2^x+2-3×4^x的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于4^x=（2^x）²，函數(shù)f（x）=2^x+2-3×4^x可看成是以2^x為變量的二次函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出2^x的范圍，此范圍為此二次函數(shù)的自變量的范圍，再用二次函數(shù)求最值的方法求解．

解答： 解：∵M(jìn)={x|x＞3或x＜1}，∴x＞3或x＜1，
又∵函數(shù)y=2^x為增函數(shù)，
∴2^x＞8或0＜2^x＜2，
∵f(x)=-3×22x+2x+2=-3(2x-

1

6

)2+

25

12

．
此函數(shù)可看成以2^x為變量的二次函數(shù)，此二次函數(shù)的自變量的范圍為（0，2）∪（8，+∞）
∴當(dāng)2^x=

1

6

，即x=log2

1

6

時(shí)，f（x）最大，最大值為

25

12

，f（x）沒有最小值．

點(diǎn)評：本題綜合考查指數(shù)函數(shù)求值域、二次函數(shù)求最值的問題，換元是常用的方法，屬于中檔題．