Question

若函數(shù)y₁=sin2x₁-

3

2

（x₁∈[0，π]），函數(shù)y₂=x₂+3，則（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值為（　�。�

• A、

  2

  12

  π
• B、

  (π+18)2

  72

• C、

  (π+8)2

  12

• D、

  (π-3 3 +15)2

  72

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)平移切線法，求出和直線y=x+3平行的切線方程或切點，利用點到直線的距離公式即可得到結(jié)論．

解答：解：設(shè)z=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，則z的幾何意義是兩條曲線上動點之間的距離的平方，
求函數(shù)y=sin2x-

3

2

（x∈[0，π]）的導(dǎo)數(shù)，f′（x）=2cos2x，直線y=x+3的斜率k=1，
由f′（x）=2cos2x=1，即cos2x=

1

2

，
即2x=

π

3

，解得x=

π

6

，此時y=six2x-

3

2

=

3

2

-

3

2

=0，
即函數(shù)在（

π

6

，0）處的切線和直線y=x+3平行，
則最短距離d=

| π 6 +3|

2

，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值d²=（

| π 6 +3|

2

）²=

(π+18)2

72

，
故選：B

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用平移切線法求直線和正弦函數(shù)距離的最小值是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運算能力．