Question

如圖所示，邊長為a的等邊△ABC的中心是G，直線MN經(jīng)過G點(diǎn)與AB、AC分別交于M、N點(diǎn)，已知∠MGA=α（

π

3

≤α≤

2π

3

）．
（1）設(shè)S₁、S₂分別是△AGM、△AGN的面積，試用α表示S₁、S₂；
（2）當(dāng)線段MN繞G點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求y=

1

S12

+

1

S22

的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的實(shí)際應(yīng)用

專題：綜合題,解三角形

分析：（1）根據(jù)G是邊長為1的正三角形ABC的中心，可求得AG，進(jìn)而利用正弦定理求得GM，然后利用三角形面積公式求得S₁，同理可求得S₂
（2）把（1）中求得S₁與S₂代入求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)α的范圍和余切函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大和最小值．

解答：解：（1）因?yàn)镚是邊長為a的正三角形ABC的中心，
所以AG=

3

3

a，∠MAG=

π

6

，
由正弦定理得GM=

3 a

6sin(α+ π 6 )

則S₁=

1

2

GM•GA•sinα=

asinα

12sin(α+ π 6 )

同理可求得S₂=

asinα

12sin(α- π 6 )

（2）y=

1

S12

+

1

S22

=

144

a2sin2α

[sin2(α+

π

6

)+sin2(α-

π

6

)]
=

72

a2

（3+cot²α）
因?yàn)?span id="hvmaxnk" class="MathJye">

π

3

≤α≤

2π

3

，
所以當(dāng)a=

π

3

或a=

2π

3

時(shí)，y取得最大值y_max=

240

a2

當(dāng)a=

π

2

時(shí)，y取得最小值y_min=

216

a2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．