Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B分別是橢圓：

x2

4

+y²=1的左、右頂點(diǎn)，P（2，t）（t∈R，且t≠0）為直線x=2上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P任意引一直線l與橢圓交于C、D，連結(jié)PO，直線PO分別和AC、AD連線交于E、F．
（1）當(dāng)直線l恰好經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)時(shí)，求t的值；
（2）若t=-1，記直線AC、AD的斜率分別為k₁，k₂，求證：

1

k1

+

1

k2

定值；
（3）求證：四邊形AFBE為平行四邊形．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意得l：y=-

3

3

x+1，由此能求出t的值．
（2）直線AC：y=k₁（x+2），與

x2

4

+y2=1聯(lián)立得C：

x= 2-8k12 1+4k12 y= 4k1 1+4k12

，同理得D：

x= 2-8k22 1+4k22 y= 4k2 1+4k22

，由此能證明

1

k1

+

1

k2

=-4（定值）．
（3）要證四邊形AFBE為平行四邊形，即只需證E、F的中點(diǎn)即點(diǎn)O．

解答： （1）解：由題意：橢圓：

x2

4

+y²=1上頂點(diǎn)C（0，1），
右焦點(diǎn)E（-

3

，0），
所以l：y=-

3

3

x+1，
令x=2，得t=1-

2 3

3

．…（2分）
（2）證明：直線AC：y=k₁（x+2），與

x2

4

+y2=1聯(lián)立
得C：

x= 2-8k12 1+4k12 y= 4k1 1+4k12

，同理得D：

x= 2-8k22 1+4k22 y= 4k2 1+4k22

，…（4分）
由C，D，P三點(diǎn)共線得：k_CP=k_DP，得

1

k1

+

1

k2

=-4（定值）．…（8分）
（3）證明：要證四邊形AFBE為平行四邊形，即只需證E、F的中點(diǎn)即點(diǎn)O，
設(shè)點(diǎn)P（2，t），則OP：y=

t

2

x，
分別與直線AC：y=k₁（x+2）與AD：y=k₂（x+2）聯(lián)立得：
x_E=

4k1

t-2k1

，x_F=

4k2

t-2k2

，下證：x_E+x_F=0，即

4k1

t-2k1

+

4k2

t-2k2

=0
化簡(jiǎn)得：t（k₁+k₂）-4k₁k₂=0…（12分）
由（2）知C：

x= 2-8k12 1+4k12 y= 4k1 1+4k12

，D：

x= 2-8k22 1+4k22 y= 4k2 1+4k22

，
由C，D，P三點(diǎn)共線得：k_CP=k_DP，
得t（k₁+k₂）-4k₁k₂=0，
所以四邊形AFBE為平行四邊形．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查兩直線的斜率的倒數(shù)和為定值的證明，考查四邊形為平行四邊形的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．