Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）求證：f（x）≥1；
（2）若方程f（x）=$\frac{{a}^{2}+2}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$有解，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值不等式性質(zhì)便可得出|x-1|+|x-2|≥|x-1-x+2|，從而便可得出f（x）≥1；
（2）分離常數(shù)得到$f（x）=\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}+\sqrt{{a}^{2}+1}$，從而根據(jù)基本不等式即可得出f（x）≥2，而這樣討論x去掉絕對(duì)值號(hào)，即可解出滿足不等式f（x）≥2的x的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=|x-1|+|x-2|≥|x-1-x+2|=1；
∴f（x）≥1；
（2）$\frac{{a}^{2}+2}{\sqrt{{a}^{2}+1}}=\frac{{a}^{2}+1+1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$
=$\sqrt{{a}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}≥2$
即f（x）≥2；
∴①x≤1時(shí)，f（x）=1-x+2-x≥2；
解得$x≤\frac{1}{2}$；
②1＜x＜2時(shí)，f（x）=x-1+2-x=1，不滿足f（x）≥2；
③x≥2時(shí)，f（x）=x-1+x-2≥2；
解得$x≥\frac{5}{2}$；
綜上得，$x≤\frac{1}{2}$；
∴x的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，分離常數(shù)法的運(yùn)用，以及基本不等式求函數(shù)的取值范圍，討論x的取值，從而去絕對(duì)值號(hào)，這樣解不等式f（x）≥2即可得出x的取值范圍．