Question

如圖所示，已知△AOB中，AB＝2OB＝4，D為AB的中點(diǎn)，若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的，記二面角B－AO－C的大小為．

(Ⅰ)若＝，求證：平面COD⊥平面AOB；

(Ⅱ)若∈[，]時(shí)，求二面角C－OD－B的余弦值的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸， 　　OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz， 　　則A(0，0，2)，B(0，2，0)，D(0，1，)，C(2sin，2cos，0)． 　　設(shè)＝(x，y，z)為平面COD的一個(gè)法向量， 　　由，得，　3分 　　取z＝sinθ，則＝(cos，－sin，sin)＝(0，－，1) 　　因?yàn)槠矫鍭OB的一個(gè)法向量為＝(1，0，0)，得·＝0， 　　因此平面COD⊥平面AOB．　6分 　　(Ⅱ)設(shè)二面角C－OD－B的大小為α，由(1)得 　　當(dāng)＝時(shí)，cosα＝0；當(dāng)∈(，]時(shí)，tan≤－， 　　cosα＝＝＝－，　10分 　　故－≤cosα＜0．因此cosα的最小值為－， 　　綜上，二面角C－OD－B的余弦值的最小值為－．　12分 　　解法二：(Ⅰ)因?yàn)锳O⊥OB，二面角B－AO－C為，　3分 　　所以O(shè)B⊥OC，又OC⊥OA，所以O(shè)C⊥平面AOB 　　所以平面AOB⊥平面COD．　6分 　　(Ⅱ)當(dāng)＝時(shí)，二面角C－OD－B的余弦值為0；　7分 　　當(dāng)∈(，]時(shí)，過B作OD的垂線，垂足為E， 　　過C作OB的垂線，垂足為F，過F作OD的垂線，垂足為G，連結(jié)CG， 　　則∠CGF的補(bǔ)角為二面角C－OD－B的平面角． 　　在Rt△OCF中，CF＝2sin，OF＝－2cos， 　　在Rt△CGF中，GF＝OFsin＝－cos，CG＝， 所以cos∠CGF＝＝－．因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4586/0019/0d431bf87e6cc8a57486b82b13824e10/C/Image242.gif" width=7 height=11>∈(，]，tan≤－，故0＜cos∠CGF＝≤．所以二面角C－OD－B的余弦值的最小值為－．　12分