Question

7．函數(shù)f（x）=lnx，g（x）是f（x）的反函數(shù)．
（I）求證：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x+1）≥-$\frac{1}{2}$x²+x；
（Ⅱ）若g（x）+g（-x）≤2g（mx²）對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可證明不等式當(dāng)x≥0時(shí)，f（x+1）≥-$\frac{1}{2}$x²+x；
（Ⅱ）求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，多次構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可得到結(jié)論．

解答 （I）∵f（x）=lnx，∴不等式f（x+1）≥-$\frac{1}{2}$x²+x等價(jià)為ln（x+1）≥-$\frac{1}{2}$x²+x，
設(shè)h（x）=ln（x+1）-（-$\frac{1}{2}$x²+x），
則h′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1+x=$\frac{{x}^{2}}{x+1}$，
當(dāng)x≥0時(shí)，h′（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+1}$≥0，
即函數(shù)h（x）為增函數(shù)，
∵h(yuǎn)（0）=ln1=0，
∴當(dāng)x≥0，h（x）≥h（0）=0，
即ln（x+1）-（-$\frac{1}{2}$x²+x）≥0，
則ln（x+1）≥-$\frac{1}{2}$x²+x，成立．
即當(dāng)x≥0時(shí)，f（x+1）≥-$\frac{1}{2}$x²+x；
（Ⅱ）∵g（x）是f（x）的反函數(shù)，∴g（x）=e^x，
若g（x）+g（-x）≤2g（mx²）對(duì)任意x∈R恒成立，
即e^x+e^-x≤2e${\;}^{m{x}^{2}}$對(duì)任意x∈R恒成立，
即2${e}^{m{x}^{2}+1}$≥e^2x+1，
設(shè)φ（x）=g（x）+g（-x）-2g（mx²），
則φ（-x）=g（-x）+g（x）-2g（mx²）=φ（x），
即函數(shù)φ（x）是偶函數(shù)，
即對(duì)任意的x不等式恒成立等價(jià)為φ（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，
令x=1得2e^m≥e+$\frac{1}{e}$＞2，則m＞0，
當(dāng)m≥$\frac{1}{2}$時(shí)，設(shè)F（x）=2${e}^{\frac{1}{2}{x}^{2}+x}$-e^2x-1，（x≥0），
則F′（x）=2（1+x）${e}^{\frac{1}{2}{x}^{2}+x}$-2e^2x，
由（Ⅰ）得當(dāng)x≥0時(shí)，ln（x+1）+$\frac{1}{2}$x²-x≥0，
即ln（x+1）+$\frac{1}{2}$x²+x≥2x，
∴（1+x）${e}^{\frac{1}{2}{x}^{2}+x}$≥e^2x，
即（1+x）${e}^{\frac{1}{2}{x}^{2}+x}$-e^2x≥0，則F′（x）≥0，
則函數(shù)F（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則F（x）≥F（0）=0，
即當(dāng)x≥0時(shí)，$2{e}^{\frac{1}{2}{x}^{2}}$≥e^x+e^-x，
∴2g（mx²）=2e${\;}^{m{x}^{2}}$≥2${e}^{\frac{1}{2}{x}^{2}}≥$e^x+e^-x，恒成立，符號(hào)題意，
當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，設(shè)G（x）=${e}^{x}-\frac{1}{2m}x-1$，
則G′（x）=e^x-$\frac{1}{2m}$，當(dāng)0＜x＜-ln2m時(shí)，G′（x）＜0，則G′（x）在（0，-ln2m）上單調(diào)遞減，
則G（x）＜g（0）=0，即當(dāng)0＜x＜$\sqrt{\frac{-ln2m}{m}}$時(shí)，0＜mx²＜-ln2m．
∴G（mx²）＜0，即e${\;}^{m{x}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$x²+1，則2e${\;}^{m{x}^{2}}$＜x²+2，
設(shè)H（x）=e^x+e^-x-x²-2，則H′（x）=e^x-e^-x-2x，
H′′（x）=e^x+e^-x-2≥2-2=0，
則H′（x）=e^x-e^-x-2x在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴H′（x）≥0，
即H（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴H（x）≥H（0）=0，即e^x+e^-x≥x²+2，
∴0＜x＜$\sqrt{\frac{-ln2m}{m}}$時(shí)，2${e}^{\frac{m{x}^{2}}{2}}$＜x²+2≤e^x+e^-x，與$2{e}^{m{x}^{2}}$≥e^x+e^-x恒成立矛盾，不合題意，
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的證明以及不等式恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，難度較大．