【題目】(本題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知兩點(diǎn)和,動點(diǎn)M滿足,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為C,半拋物線:(),設(shè)點(diǎn).
(Ⅰ)求C的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)T是曲線上一點(diǎn),曲線在點(diǎn)T處的切線與曲線C相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,求△ABD的面積的最大值及點(diǎn)T的坐標(biāo).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),則可得向量的坐標(biāo),根據(jù)向量數(shù)量積公式可求得點(diǎn)的軌跡的軌跡方程.(Ⅱ)拋物線為,設(shè)(),對求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在點(diǎn)處的切線的斜率,從而可得切線方程.將切線方程和曲線方程聯(lián)立消去整理為關(guān)于的一元二次方程.可知其判別式大于0,由韋達(dá)定理可得兩根之和,兩根之積.根據(jù)弦長公式可求得弦由點(diǎn)到線的距離公式可求得三角形的高,從而可得三角形面積.配方法可求得其最值及取最值時的值.
試題解析:解:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),由,得,
所以的軌跡方程是;(4分)
(Ⅱ)拋物線為,設(shè)(),則,所以切線為:
,即,聯(lián)立,,
判別式△,設(shè),,則,過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn),于是,得,則,
故△ABD的面積,此時.(12分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一鮮花店根據(jù)一個月(30天)某種鮮花的日銷售量與銷售天數(shù)統(tǒng)計(jì)如下,將日銷售量落入各組區(qū)間頻率視為概率.
日銷售量(枝) | |||||
銷售天數(shù) | 3天 | 5天 | 13天 | 6天 | 3天 |
(1)試求這30天中日銷售量低于100枝的概率;
(2)若此花店在日銷售量低于100枝的時候選擇2天作促銷活動,求這2天恰好是在日銷售量低于50枝時的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
(I)求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間;
(II)是否存在常數(shù),使得對于定義域內(nèi)的任意恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知、分別是橢圓的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上一動點(diǎn),當(dāng)軸時, .
(1)求橢圓的離心率;
(2)若橢圓存在點(diǎn),使得四邊形是平行四邊形(點(diǎn)在第一象限),求直線與的斜率之積;
(3)記圓為橢圓的“關(guān)聯(lián)圓”. 若,過點(diǎn)作橢圓的“關(guān)聯(lián)圓”的兩條切線,切點(diǎn)為、,直線的橫、縱截距分別為、,求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)是奇函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;
(2)若對任意的實(shí)數(shù),函數(shù)(為實(shí)常數(shù))的圖象與函數(shù)的圖象總相切于一個定點(diǎn).
① 求與的值;
② 對上的任意實(shí)數(shù),都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體的棱長為 1, 為的中點(diǎn), 為線段上的動點(diǎn),過點(diǎn)A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為.則下列命題正確的是__________(寫出所有正確命題的編號).
①當(dāng)時, 為四邊形;②當(dāng)時, 為等腰梯形;③當(dāng)時, 為六邊形;④當(dāng)時, 的面積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓經(jīng)過變換后得曲線.
(1)求的方程;
(2)若為曲線上兩點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),直線的斜率分別為且,求直線被圓截得弦長的最大值及此時直線的方程.
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