Question

10．已知點(diǎn)M（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），F(xiàn)（$\sqrt{5}$，0）．且P為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1上動點(diǎn)．當(dāng)||MP|-|FP||取最大值時P的坐標(biāo)為（$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)M和F的坐標(biāo)寫出直線l的方程，與雙曲線L的解析式聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把橫坐標(biāo)代入直線l的方程中即可求出交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到直線l與雙曲線L的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后經(jīng)過判斷發(fā)現(xiàn)T₁在線段MF外，T₂在線段MF內(nèi)，根據(jù)圖形可知||MT₁|-|FT₁||=|MF|，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|MF|的長度，當(dāng)動點(diǎn)P與點(diǎn)T₂重合時||MT₂|-|FT₂||＜|MF|，當(dāng)動點(diǎn)P不是直線l與雙曲線的交點(diǎn)時，根據(jù)兩邊之差小于第三邊得到|MP|-|FP|＜|MF|，綜上，得到動點(diǎn)P與T₁重合時，||MP|-|FP||取得最大值，此時P的坐標(biāo)即為T₁的坐標(biāo)．

解答 解：過點(diǎn)M，F(xiàn)的直線l的方程為y=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}-0}{\frac{3\sqrt{5}}{5}-\sqrt{5}}$（x-$\sqrt{5}$），
即y=-2（x-$\sqrt{5}$），代入$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，解得：x₁=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，x₂=$\frac{14\sqrt{5}}{15}$，
故直線l與雙曲線L的交點(diǎn)為T₁（$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），T₂（$\frac{14\sqrt{5}}{15}$，$\frac{2\sqrt{5}}{15}$），
因此T₁在線段MF外，T₂在線段MF內(nèi)，故||MT₁|-|FT₁||=|MF|=2，
||MT₂|-|FT₂||＜|MF|=2，若點(diǎn)P不在MF上，則|MP|-|FP|＜|MF|=2，
綜上所述，|MP|-|FP|只在點(diǎn)T₁處取得最大值2，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
故答案為：（$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．

點(diǎn)評 此題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式及三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊解決實(shí)際問題，是一道中檔題．