Question

5．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AB的中點，D是CC₁上一點．
（I）求證：A₁B₁∥平面DAB；
（Ⅱ）求證：A₁B₁⊥DE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得AB∥A₁B₁，由此能證明A₁B₁∥平面DAB．
（Ⅱ）由已知得CE⊥AB，DE⊥AB，由此能證明A₁B₁⊥平面DCE，從而得到A₁B₁⊥DE．

解答 （Ⅰ）證明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AB∥A₁B₁，AB?平面ABD，A₁B₁?平面ABD，
∴A₁B₁∥平面DAB．
（Ⅱ）證明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AC=BC，E是AB中點，∴CE⊥AB，
在△ADC和△BDC中，
∵AC=BC，DC=DC，∠DCA=∠DCB，
∴△ADC≌△BDC，∴AD=BD，
∴DE⊥AB，
∵DE∩CE=E，
∴AB⊥平面DCE，
∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁⊥平面DCE，
∵DE?平面DCE，∴A₁B₁⊥DE．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．