Question

2．已知函數(shù)f（x）=-2sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{8}$對稱．
（1）求此函數(shù)的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值和此時相應(yīng)的x的值；
（3）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)周期性，求得f（x）的周期．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的最值，得出結(jié)論．
（3）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得x的范圍，可得f（x）的增區(qū)間．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=-2sin（2x+φ），可得它的周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵函數(shù)f（x）=-2sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{8}$對稱，
∴2•$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，∴φ=-$\frac{3π}{4}$，
∴f（x）=-2sin（2x-$\frac{3π}{4}$）．
令f（x）=-2sin（2x-$\frac{3π}{4}$）=2，求得sin（2x-$\frac{3π}{4}$）=-1，
∴2x-$\frac{3π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，∴x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
故函數(shù)f（x）的最大值為2，此時，相應(yīng)的x的值為x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
（3）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{9π}{8}$，
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ+$\frac{5π}{8}$，kπ+$\frac{9π}{8}$]，k∈Z．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)周期性，以及它的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的最值及單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．